#指数运算

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勃勃OC
1个月前
最后终于可以谈谈欧拉公式了，这也是很多个星期之前，我们空间有人问到的话题。当时的回答其实并不准确 根据之前推文的讨论我们知道，e并没有什么特别之处，他仅仅是为了简化2^x计算而引入的。最终结果是： e = 2^(1/0.693)，以使得 e^x = (1 + x/N)^N, N->infinity 那么一个自然的问题就来了，如果x是复数，特别是虚数时，比如当x = ib，e^x 是否还有意义？ 为什么会要计算形如e^ib的形式？这其实是一个物理问题，是物理学家们在计算中不小心发现的。同时他们当时已经确认，这几乎必须得是一个虚数，且其长度必须是1（也就是必须落在复平面的单位圆上）。这点以后有机会再说。 回到 e^ib。如果公式e^x = (1 + x/N)^N 对任意数有效，那么他应该对虚数也有效，你也可以认为数学家们将这一近似公式拓展到了复平面。 代入 x = ib 可知： e^ib = (1 + ib/N)^N 在复平面上，i垂直于实数轴，因此ib垂直于1的方向。当N很大时，b/N很小，而tan(b/N)就约等于b/N，这意味着b/N其实就是1 + ib/N 在复平面上对应的旋转角，也就是幅角，当N特别大时。 与此同时，对于一个复数而言，一个数的N次方就是他的幅角连加N次，幅长取N次方，但因为e^ib的幅长必须是1，因此： (1 + ib/N)^N 就等于 一个复平面单位圆上，幅角为b/N * N = b 的复数 也就是说，e^ib = (1 + ib/N)^N = cos(b) + isin(b) 这也就是欧拉公式的真实来历 并没有什么很奇特的，相反我认为，那个物理学家发现e^ib的故事，更值得一谈
#欧拉公式 #复数运算 #e的定义 #数学分析 #指数运算
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勃勃OC
1个月前
自然对数e的发明实在是来自于人类对计算无止尽的追求 为了计算2的任意次方，比如说2^x，其中x是任意非整数且大于0，数学家们想到一个方法： 首先，把x变得非常小，比如把它除以1万，计算出2^(x/10000)的结果，最后，只需要把这个结果连乘10000次，就能得到2^x的值。 也就是说，2^x = (2^(x/10000))^10000，这从定义上说是显然的 是因为数学家发现，当x特别小时，2^x随着x的增长几乎是线性的，也就是说，y=2^x的函数曲线，x=0 附近看起来几乎就是一条直线。 而那条直线的系数，经过计算是0.693..... 也就是说，当x特别小时，2^x 约等于 1 + 0.693 * x；算完之后，再连乘1万次，就能得到原值 现实中，你当然不需要真的乘1万次；毕竟乘一次就是2次方，把两次方的结果自己连乘一次就是四次方，以此类推。最多只需要Log(10000)，约等于13次而已 因此，数学家们对2的任意x次方创造出了一种非常神奇的算法： 2^x = (1 + 0.693 * x/N)^N ，N是一个非常大的数 但是呢，0.693这个系数每次计算确实又不方便，不够“自然”。为了让上面这个式子看起来更自然，最简单的方法就是换元法： 令 x = x' / 0.693 这样，就得到： 2^(1/0.693 * x') = (1 + x'/N)^N 将 2^(1/0.693) 提取出来，记为e，并把x'上面的小标去掉 就得到 e^x = (1 + x/N)^N，更严谨的： e^x = lim N->infinity {(1 + x/N)^N}，更严谨的： e就是所谓的“自然对数”，因为他让指数的计算近似公式看起来更自然 经过计算，不难得出 e = 2.718.... 由上可知：自然对数描述的是2^x在原点附近的斜率，是一个数学实体，是实际存在的东西 而不是一个人造之物 聪明的你学会了吗？
#自然对数 #数学 #指数运算 #计算方法