勃勃OC

最后终于可以谈谈欧拉公式了，这也是很多个星期之前，我们空间有人问到的话题。当时的回答其实并不准确根据之前推文的讨论我们知道，e并没有什么特别之处，他仅仅是为了简化2^x计算而引入的。最终结果是： e = 2^(1/0.693)，以使得 e^x = (1 + x/N)^N, N->infinity 那么一个自然的问题就来了，如果x是复数，特别是虚数时，比如当x = ib，e^x 是否还有意义？为什么会要计算形如e^ib的形式？这其实是一个物理问题，是物理学家们在计算中不小心发现的。同时他们当时已经确认，这几乎必须得是一个虚数，且其长度必须是1（也就是必须落在复平面的单位圆上）。这点以后有机会再说。回到 e^ib。如果公式e^x = (1 + x/N)^N 对任意数有效，那么他应该对虚数也有效，你也可以认为数学家们将这一近似公式拓展到了复平面。代入 x = ib 可知： e^ib = (1 + ib/N)^N 在复平面上，i垂直于实数轴，因此ib垂直于1的方向。当N很大时，b/N很小，而tan(b/N)就约等于b/N，这意味着b/N其实就是1 + ib/N 在复平面上对应的旋转角，也就是幅角，当N特别大时。与此同时，对于一个复数而言，一个数的N次方就是他的幅角连加N次，幅长取N次方，但因为e^ib的幅长必须是1，因此： (1 + ib/N)^N 就等于一个复平面单位圆上，幅角为b/N * N = b 的复数也就是说，e^ib = (1 + ib/N)^N = cos(b) + isin(b) 这也就是欧拉公式的真实来历并没有什么很奇特的，相反我认为，那个物理学家发现e^ib的故事，更值得一谈

自然对数e的发明实在是来自于人类对计算无止尽的追求为了计算2的任意次方，比如说2^x，其中x是任意非整数且大于0，数学家们想到一个方法：首先，把x变得非常小，比如把它除以1万，计算出2^(x/10000)的结果，最后，只需要把这个结果连乘10000次，就能得到2^x的值。也就是说，2^x = (2^(x/10000))^10000，这从定义上说是显然的是因为数学家发现，当x特别小时